Geçen hafta yazamadım, ama hatırlayanlar çıkacaktır, iki hafta önce Öklid geometrisini ve onun “aksiyomatik sistem”ini anlatmıştım.
Öklid, birkaç basit, doğruluğu sorgulanmayacak kural veya aksiyom kurmuş, bu aksiyomların üzerine de koca bir geometri binası inşa etmişti. O bina bugün bile ayakta.
İki hafta önce anlattım, Öklid’in bu aksiyomlarından biri, paralel aksiyomu tartışmalıydı. 19. yüzyılda bu tartışma sayesinde çok sayıda Öklid dışı geometri de doğdu. Bugün onlar da dimdik ayakta.
19. yüzyıl çok ilginç bir yüzyıldı bilim açısından. Çünkü dünyanın pek çok yerinde pek çok kişi bilimin bu dünyayı ve doğayı anlamamız için en geçerli araç olduğunu düşünmeye başlamıştı.
Bilimde bulunabilecek şeylerin bir sonu olduğunu, her şeyi bulduklarında (keşfettiklerinde) insanlığın olabilecek en yüksek aşamaya geleceğini düşünüyorlardı.
Onlara göre tarihin oku hep ileriyi gösteriyordu ve insanlık da ilerliyordu, hep de ilerlemeliydi. Nereye kadar? Bilimin sonuna kadar. Bilimin sonu geldiğinde ilerleme de duracaktı, hatta bir yerde (Hegel’in sözüyle) “tarih sona erecek”ti.
Genel olarak “pozitivizm” adını verdiğimiz bu düşünce okuluna eşlik eden bir düşünce daha vardı; kaynağını büyük İngiliz fizikçi Sir Isaac Newton’un “fizik kanunları”nda bulan. Bu düşünceye göre de, eğer evrendeki her şeyin bugünkü durumunu (hızını, yönünü vs.) mükemmelen bilirsek, geleceği de bilebilirdik.
“Belirlenimcilik” veya “determinizm” adı verilen bu akım Batı Avrupa’da bir hayli taraftar sahibiydi. Çünkü, mesela Newton kanunlarını kullanarak bir sonraki Ay tutulmasını, güneş tutulmasını veya Jüpiter’in geçişini önceden nokta atışı yaparak tahmin edebiliyorduk. Geri kalan “kanun”ları da çözebilir ve çok hassas ölçüm yapabilir hale gelirsek, belki her şeyin gelecekte erişeceği yeri şimdiden bilebilir, bir nevi geleceği görebilir hale gelebilirdik.
19. yüzyılın bütün kalbur üstü bilimcileri şu kadar veya bu kadar bu iki fikrin etkisi altındaydı. İçinde bulundukları entellektüel ortam buydu.
İşte bu ortam içinde, bazı matematikçiler çıktılar ve Öklid’in geometride başardığı şeyi matematikte de yapabileceklerini düşündüler. Yani basit bazı kurallara veya aksiyomlara dayalı bir matematiksel sistem kurup kuramayacaklarını sorguladılar.
Aslına bakacak olursanız, koca matematik, gerçekten de birkaç temel kurala dayalıdır. Öyle olduğu için biz okulda matematik öğrenmeye dört temel işlemle ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme gibi işlemlerin simgeleriyle, eşittir sembolünün anlamıyla vs başlarız. Bütün matematiği ilkokulda öğrendiğimiz temel kurallarla yaparız aslında.
Ama tabii mesele bu kadar basit değil. Matematikte bir de “kanıtlama” diye bir şey var. Teorik olarak matematikte bir “doğru” önermeler var, bir de “yanlış” önermeler. Hangi önermenin doğru olduğu, hangisinin yanlış olduğu ise ancak kanıtlamayla ulaşılabilir bir bilgi.
Ancak, aradan onca zaman geçtiği halde doğruluğu veya yanlışlığı kanıtlanamamış çok sayıda büyük problem vardı.
19. yüzyılın “Bilim her şeyin üstesinden gelir, her şeyi bilebiliriz, hatta bilmeliyiz” düşüncesini çok rahatsız ediyordu bu henüz çözümü olmayan problemler.
Bunlardan iki tanesi hem çok basit hem de çok meşhur.
Birincisi birkaç on yıl önce nihayet doğruluğu kanıtlanabilen meşhur Fermat’ın Son Teoremi. Hepimiz ortaokula Pisegor teorimini öğrendik, dik açılı üçgenlerde dik açıyı oluşturan iki kısa kenarın karelerinin toplamı, üçüncü kenarın (hipotenüs) karesine eşittir. Bu tamam. Fermat şunu merak ediyordu: Karesi değil de küpü olsa, dördüncü, beşinci, altıncı…. n’inci kuvveti olsa da bu eşitlik geçerli midir?
Fermat bu soruyu 1637 yılında okuduğu bir matematik kitabının kenarına yazmış, “Bu konuda çok güzel bir kanıt keşfettim ama onu yazmaya burada yerim yetmez” demişti. Acaba ne bulmuştu Fermat? Çünkü onu izleyen 350 yıldan fazla zamanda binlerce matematikçi bu sorunla uğraştı ama önermenin doğruluğunu veya yanlışlığını kanıtlayamadı. Ta ki 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles’a kadar.
Böyle çok meşhur bir başka hala çözülmeyi bekleyen teorem, Goldbach teoremi. Basitçe şunu söyler teorem: “2’den büyük bütün doğal çift sayılar iki asal sayının toplamıdır.”
1742 yılında Alman matematikçiler Christian Goldbach ile Leonard Euler arasındaki bir mektuplaşmada oraya atılan bu teorem, o zamandan beri gösterilen bütün çabaya rağmen henüz doğruluğu veya yanlışlığı kanıtlanamamış, yani çözülememiş bir problem.
Bu çeşit çözümsüz problemler, az önce dediğim gibi 19. yüzyıl matematikçisini çok rahatsız ediyordu. Çünkü bu problemlerin varlığı matematiğin kesinliği düşüncesiyle çelişiyordu.
Büyük Alman matematikçi David Hilbert sonunda bütün matematikçilere bir ev ödevi verdi: Matematiği formelleştirmek, bütün matematiğin kurallarını birkaç aksiyoma indirgemek, matematiği çelişkilerden kurtarmak…
Bu görevi en ciddiye alanlar iki dev İngiliz matematikçi ve mantıkçı oldu: Alfred Whitehead ve Bertrand Russel…
Gelin onları da haftaya konuşalım.
