Bu haftadan başlayarak biraz geriye doğru sıçramak, insan bilgisinin gelişme biçiminin bazı temellerine bakmak istiyorum. Onun için de izninizle önce Mısır’ın İskenderiye kentinde milattan önce 300 yılı dolaylarında yaşamış olan büyük Yunan matematikçi Öklid’e kadar geri döneceğim.
Öklid, biliyorsunuz 13 ciltlik dev eseri Elemanlar ile bilinir. Bu kitapların ilk bölümünde Öklid kendisinden önceki matematiği alır ve tasnif eder, konuları bir araya getirir.
Sonrasında ise özgün bir sistem kurar.
Nedir kurduğu sistem Öklid’in? İşe, doğru olduğu kanıt gerektirmeyen 5 Önerme, Aksiyom veya Postula ile başlar. Bunlardan ilk dördü, kabul etmesi kolay şeylerdir.
-“İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer” gibi;
-“Bir doğru parçası her iki yöne sınırsız bir şekilde uzatılabilir” gibi,
-“Merkezi ve üzerinde bir noktası verilen bir çember çizilebilir” gibi,
-“Bütün dik açılar birbirine eşittir” gibi…
Fakat tabii bir de beşinci önerme-aksiyom-postula var; fazlasıyla meşhur olan. Aynen çevirecek olursak şöyle: “İki düz çizgi üzerine düşen bir doğru, aynı taraftaki iç açıları iki dik açıdan daha az yapıyorsa, iki düz çizgi, eğer sonsuza kadar uzatılırsa, açıların iki dik açıdan daha az olduğu tarafta kesişir.” Bu laf kalabalığının daha sade bir ifadesi var: “Bir doğruya dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilebilir.”
Ben bu sade ifadeden çok hoşlanmıyorum, Öklid’in laf kalabalığına neden olan orijinal cümlesini tercih ediyorum. Bu cümle kafanızı karıştırdıysa diye izah edeyim: Bir paralel gözünüzün önüne getirin ve bu iki düz çizginin ikisini birden kesen bir başka çizgi çizin. Çizdiğiniz bu son çizginin paralelin içinde aynı tarafta yarattığı açıların toplamı 180 dereceden küçükse, paraleli yeterince uzatırsanız çizgilerin birbiriyle kesiştiğini görürsünüz. Diğer tarafta da iç açıların toplamı 180 dereceden büyük olacağından, o tarafta da çizgiler uzadıkça birbirlerinden uzaklaşırlar.
Mefhumu muhalifinden gidersek ise iç açıların toplamı 180 dereceyse, paralel sonsuza kadar paralel kalır.
Kalır mı? Bu soru neredeyse herkesin, tarih boyunca Öklid’in Elemanlar’ını okuyan bütün matematikçilerin kafasını kurcalamış. Bunlara Ömer Hayyam da dahil, Lobaçevski de…
Paralel önermesini tartışmayı birkaç paragraf erteleyip bu yazının esas muradını yazmak istiyorum.
Öklid’in yaptığı insan zihninin çok büyük bir sıçramasıdır. Bize, kendi dilimizin ve düşünme sistematiğimizin içinde, tamamen kendi zihnimizin bir ürünü olan ve iç tutarlığı bulunan bir sistem kurar Öklid. Üstelik bu sistem, yani geometri doğaya da uymaktadır, onun aracılığıyla doğayı da tarif edebiliriz.
Böyle sistemlere “Aksiyomatik sistem”ler adı veriliyor. Yani başlangıçta, kimsenin reddetmeyeceği ve kanıtlamak için özel uğraşın gerekmeyeceği bazı temel önermeler üzerine koca bir bina inşa etmek.
Yalnız dedim ya Öklid’in kurduğu sistem aracılığıyla doğayı da tarif edebiliyoruz, diye… İşte yüzyıllar boyunca matematikçilerin kafasının beşinci önermeye, paralel önermeye takılmasının sebebi de tam bu.
Eğer, sonsuzdan gelip sonsuza kadar gidecek mükemmel düzlükte bir düzlem hayal edebiliyorsak, ki edebiliyoruz, bu önermede yanlış olan bir şey yok.
Ama doğada mükemmel düzlem diye bir şey yok.
Matematikçilerin kafası çok takılsa ve önerme akla yatkın gözükmese de, 2 bin yıldan fazla süreyle Öklid geometrisi yegane geometri olarak kalıyor.
Ama nihayet 1800’lerin başlarından itibaren matematikçiler sorunun Öklid’in tarifinden çıkan “mükemmel düzlem”den kaynaklandığını görmeye başlıyor ve ilk olarak 1813’te Carl Friedrich Gauss, derken ondan bağımsız olarak 1818’de aslında bir hukukçu olan Ferdinand Karl Schweikart Öklid dışı geometrileri hayal ediyor, ama yazdıklarını yayınlamıyor. Derken 1829-30’da Rus matematikçi Nikolay İvanoviç Lobaçevski ile 1832’de Macar matematikçi Janos Bolyai birbirlerinden bağımsız biçimde Öklid-dışı geometriler geliştiriyor ve yayınlıyor.
Baştaki izahımdan tahmin ettiniz zaten, Öklid dışı geometriler, “düzlem”in düz değil pozitif veya negatif açıyla eğrildiğini varsayan, öyle “düzlem”ler hayal eden geometriler.
Örneğin dünyanın kabuğunu hayal edin. Burada sonsuza kadar uzanacak bir paralel çizmeye imkan yoktur; çünkü dünya dış bükey yüzeylidir. Çizgileri yeterince uzatırsanız paralelin artık paralel olmadığını görürsünüz.
Öklid dışı geometrilere bugün genel bir isimle “hiperbolik geometriler” adı veriliyor. Elimizde öyle bir geometri olmasaydı, yani hala Öklid geometrisiyle uğraşıyor olsaydık, denizde veya havada uzun yol yaparken olası en kısa yoldan değil, büyük ihtimalle hayli uzun yoldan varacağımız yere giderdik.
Öklid dışı geometriler olmasaydı, Albert Einstein genel görelilik teorisini yazamazdı, bugün uzaya gidemiyor, gitsek bile geriye sağ salim dönemiyor olurduk.
Haftaya devam edelim.
