Sayı saymak, insana özgü bir davranış değil. En son bazı kuşların da sayabildiği kanıtlandı; pek çok canlı sayabiliyor.
Ancak yine de, bugün bildiğimiz haliyle matematik, insana özgü, gelişmiş bir zihin yapısının sonucu.
Matematik bizim doğayla ilgili pek çok şeyi bilmemize yardımcı olan müthiş bir araç ama yine de, matematiğin neredeyse tamamı insan zihninin ve hayal gücünün bir ürünü.
Burada matematiğin ne ölçüde doğal ne ölçüde insan yapısı olduğu hakkında uzun felsefi tartışmalara girişmeyeceğim. Şunu söylemekle yetineyim: Pi sayısı örneğin elbette insan zihninin bir icadı değil, doğada var olan bir şey, ama yine de o sayıyı ifade ediş biçimimiz, kullandığımız semboller insan zihninden çıkma.
Tam da böyle olduğu için, 19. yüzyılın başından itibaren matematiği, en azından matematik yaparken kullandığımız sembolleri, yani matematiğin dilini ve alfabesini başı sonu belli, kendi kendini kanıtlar nitelikte ve baştan sona tutarlı bir hale getirme çabası, yani “matematiği formel bir sistem yapma” çabası hız kazandı.
Düşünülen ve bulunan çare, matematiği mantık bilimine, mantık bilimini de matematiğe dönüştürme çabası olarak da anabileceğimiz “mantıkçılık”tı.
“Mantıkçılık”ı ilk dile getiren, 17. yüzyılın büyük matematikçisi Leibniz’di ama 19. yüzyılda bir başka Alman matematikçi, Gottlob Frege bunu çok ayrıntılı hale getirdi. Onu başka pek çok isim izledi; Cantor’dan Peano’ya çok sayıda matematikçi matematiği mantığa dönüştürmek için çalıştı.
1879’de Frege, mantık bilimini matematiktekine benzer sembollerle ifade etmemizi (ve bugün hala kullandığımız) dili geliştirdi. O arada temel aritmetiğin önemli bir bölümü zaten mantık bilimine dönüştürülmüştü bile.
Ancak bunlar matematiğin tamamının formel bir sisteme dönüşmesi anlamına gelmiyordu henüz. Çünkü işler, ortaya bazı paradoksların çıkmasıyla ansızın çatallanmaya başlamıştı.
Paradoks veya “çelişki” aslında eski Yunan’dan beri bilinen bir şey. İşte en meşhurlarından biri “Zeno Paradoksu” diye bilineni. Aslında hareket diye bir şey olmadığını ispata çalışan Zeno, hiçbir zaman varmak istediğimiz yere varamayacağımızı göstermek için şöyle bir şey söylüyordu: Önce varmamız gereken yolun yarısına varmalıyız, sonra kalan kısmın yarısına, sonra yine kalan kısmın yarısına… Bu böyle sürüp gideceği için hiçbir zaman nihai hedefe varamayacaktık, hep kalan kısmın yarısını daha geçmemiz gerekecekti.
Tabii ki öyle değildi. Daha Zeno’nun kendisi bile her gün evinden çıkıp “lise”sine giderken hiçbir zaman yarı yolda takılıp kalmıyor, varıyordu hedefine.
Bu paradoks veya çelişkiyi daha iyi anlamak için verilen örnek, bu yazının başlığında da yer alan Giritli filozof örneği. “Bir Giritli filozof demiş ki, bütün Giritliler yalancıdır.” Bu cümle doğru mu, değil mi? Doğruysa yanlış olmalı, yanlışsa doğru…. İşte çelişki bu.
Ancak bunlar “semantik” yani dilin doğasıyla ilgili çelişkiler. Büyük İngiliz mantıkçı ve filozof Bertrand Russel başlangıçta bu dilin kendisinden kaynaklanan, dilin kendi kendine referans verebilme özelliğinden kaynaklanan bu paradoksları teşhis ettiği için çok rahatladı. Matematik ve mantık öyle değildi ona göre.
Ama derken kendi adıyla anılan meşhur matematiksel paradoksu buldu: “Bütün kümeleri içeren küme” kendi kendisinin üyesi miydi, değil miydi? Eğer üyesiyse onu da içeren bir küme olmalıydı, değilse o zaman o neydi?
Bu paradoks başta Frege olmak zere çok sayıda insanı epey meşgul etti ama sonra çözümünü de Russel buldu. Mantığı bu paradokstan kurtarmanın mümkün olduğunu gösterdi, mesele tanımlamakla, yani başlangıçta konan aksiyomlarla ilgiliydi.
Ardından bir başka İngiliz matematikçiyle, Alfred Whitehead ile birlikte anıtsal bir eseri yazmaya girişti Russel. “Principia Mathematica” adlı bu eserle Russel ve Whitehead, bütün matematiği bir aksiyomatik sistem haline getirmeye giriştiler. Büyük Alman matematikçi David Hilbert’in verdiği ev ödevini onlar yapacaktı.
Kitapları bir yılda bitecekti ama ilk cildi yayınlamaları 10 yıllarını aldı. Zor bela finanse edilen (yazarlar da ceplerinden para verdiler) kitabın sadece dizgisi bile 1 yıl sürdü ama sonunda 1910’da yayınlandı.
Gerçekten anıtsal bir eserdi ortaya çıkan ama henüz tamamlanmamıştı, matematikçiler devamını bekliyordu. Böylece bütün matematik çelişkilerden kurtulacak, tutarlı bir mantık dizgesine dönüşecekti.
Principia Mathematica’nın ikinci cildi 1912’de, üçüncü cildi ise 1913’te yayınlandı. Ama aslında hala tamam değildi. Yazarlar kitaplar üzerinde çalışmaya devam etti. İkinci baskılar 1927’de tamamlandığında Russel de Whitehead de “Bu iş bitti” diye düşünüyordu.
Ama bitmemişti. PM’i okuyan ve üzerinde çalışan az sayıda insandan biri olan bir genç Avusturyalı mantıkçının bu konuda söyleyecekleri vardı. İkinci baskıların tamamlanmasından birkaç yıl sonra, Kurt Gödel ortaya çıktı ve matematiğin de, insan düşüncesinin de tarihini sonsuza kadar değiştirdi.
Haftaya Gödel konuşmaya başlayalım.
