Kaç haftadır matematik tarihinden bir kesidi yazıyorum, matematiği formelleştirme çalışmalarını anlatıyorum, aslında lafı tam bugün yazacağım noktaya getirebilmek için alt yapı oluşturuyorum.
Geçen hafta paradokslardan söz ettim. Paradoks veya çelişki için verilen en tipik örnek meşhur Giritli paradoksu: “Bir Giritli filozof demiş ki bütün Giritliler yalancıdır.” Eğer cümle doğruysa yanlış olması lazım, eğer yanlışsa cümle doğru… Gel de çık işin içinden.
Geçen hafta Bertrand Russel’ın bulduğu meşhur paradoksu da yazdım: “Bütün kümeleri içeren bir küme kendi kendisinin üyesi midir?” Eğer üyesiyse o zaman onu da kapsayan bir başka küöme mi var? Peki o küme hangi kümeye dahil? Sonsuza kadar gidiyor…
Fakat bütün bu paradoksları aynı yapan bir şey var. Bunların tamamı konuştuğumuz, içinde düşüncemizi oluşturduğumuz dilin doğasından kaynaklanıyor.
Dünyanın bütün dilleri, kendi kendilerine referans verirler. Dilimizdeki bir kelimenin ne anlama geldiğini yine kendi dilimizde yazılmış bir sözlükte tanımlarız. Bu da, dili eğer mantığa veya matematiğe indirgemeye kalkışırsanız kaçınılmaz bir sonsuz döngü yaratır; dil kendi kuyruğunu ısırıp yemeye çalışan bir yılana benzer, mecburen.
Bunu gören Bertrand Russel, kendi bulduğu paradoksun da aslında geçersiz olduğunu fark edip rahatlamıştı. Paradokslar dille ilgiliydi; mantıkla veya matematikle ilgili değildi.
Sözlük örneğine geri dönelim. Biz bir dildeki kelimelerin ne anlama geldiğini yine o dilde yazılmış bir sözlükle tanımlıyoruz. Bu da kaçınılmaz biçimde bir “sonsuz döngü” yaratıyor.
Peki matematik veya mantık da, kendi kendini ortaya çıkaran kuralları yine kendi dilinde ifade etmiyor mu?
3+2=5 ile 2+3=5’in aynı şey demek olduğunu ortaya koyan kuralı biz yine mantıkla, matematikle yazıyoruz. İşlemlerin terse çevrilebilirliğini, 5+3=8 ile 8-5=3’ü başka bir dil veya sistem kullanarak değil, aynı o matematikle ve mantıkla kurallaştırıyoruz.
Matematiğin “aksiyom” adı verilen temellerini biz yine matematik kullanarak yarattık.
Bu son derece basit gerçeğin farkına varan genç bir Avusturyalı matematikçi ve mantıkçı olan Kurt Gödel, 1930 yılında, henüz üniversiteyi bitirmemişken oturdu, olabilecek en temel, en basit paradoksu matematiğin diline çevirmeye yeltendi.
“Bu cümle yanlıştır” cümlesini yazmaktan ve düşünmekten kolayı yok. Yazdım bile. Cümle eğer yanlışsa doğruyu söylemiş oluyor, doğruysa yanlışı… Gel de çık işin içinden.
Kurt Gödel, işte bu cümleyi matematiğin içinde yazmayı başarırsa, böylece matematiğin de kendi kendine referans verdiğini kanıtlayacağını gördü. Ve şimdi burada anlatması çok teknik kaçacak ve çok uzun sürecek (ayrıca çok da zor olacak) bir dahiyane yöntem geliştirip cümleyi matematik dilinde ifade etti.
Söylediği şey aynı anda hem o kadar karmaşık hem de aslında o kadar basitti ki, ortalık karıştı.
Basitti, çünkü söylediği “Bu cümle yanlıştır” cümlesini matematik diliyle yazmaktan ibaretti. Bunun için özel bir sayı düzeni keşfetmiş, “Gödel Sayıları” adı verilen sistemi kullanmıştı.
Ama o cümleyi yazabilmiş olmasının sonuçları son derece karmaşıktı; insanlık bugün bile o sonuçları keşfetmeye devam ediyor.
İnsanlık, doğayı anlamak ve tarif etmek için bilimi geliştirirken bir de özel dil yaratmıştı. Adına matematik dediğimiz bu dil, hem içinde düşünce üretmemizi sağlayan hem de bilimin çeşitli alanlarında birbiriyle kıyaslama yapmamıza, aynı yöntemle hesap etmemize yarayan müthiş bir araçtı. Açıkçası, doğayı anlamaya ve tarif etmeye çalışıp sırlarını çözerken elimizdeki yegane “sabit” şeydi matematik.
Ama şimdi gencecik bir adam çıkıyor ve matematiğin aslında kendi içinde tutarlı olmayabileceğini, matematiğin içinde cevabını hissetsek bile o hislerimizi kanıtlayamayacağımız şeyler olduğunu ispatlıyordu.
Daha önce örneğini verdim, meşhur Goldbach hipotezi, 2’den büyük bütün çift sayıların iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabileceğini öne sürer.
Bu hipotezin inanılmaz büyüklükte sayılara kadar doğru olduğunu tek tek denemeler yaparak buldu insanlık.
Ama sayılar sonsuza gidiyor ve bütün sayılar için söylenenin doğru olduğunu ispat edecek bir aracımız yok elimizde.
Gödel’in “Karar verilemez önermeler” adını verdiği matematiksel önermelere bir örnek Goldbach hipotezi. (Zaten adı o yüzden “hipotez”, “kanıtlama” değil.)
Peki Gödel’in matematiğin “eksik” ve “karar verilemez” olduğunu kanıtlaması ne anlama geliyor?
Az önce söyledim, insanlık bugün bile bu sonuçları keşfetmeye devam ediyor ama herhalde ortaya çıkan en temel sonuçlardan biri, insan zihninin icat ettiği en mükemmel akıl yürütme biçiminin kendi içinde bazı kusurları olduğunu, yani mükemmel olmadığını görmekti.
Bu peki insan zihninin de sınırları olduğu anlamına mı geliyordu? Yani ortada insan kavrayışının ötesine geçen, insanın hiçbir zaman tam olarak anlayamayacağı şeyler olduğu anlamına mı geliyordu?
Hemen oraya sıçramayın. Gelin bu derin konuyu konuşmaya biraz daha devam edelim.
Lise son sınıflara seçmeli felsefe dersi konması iyi olur. Russel ve Gödel’in de olduğu bir ders.
Yanıtla (2) (1)Niye lise 3 kardeşim.Lise 1 olsa daha iyi olmaz mı? Ne kadar erken yaşta düşünmeyi öğrenirse o kadar iyi...
Yanıtla (1) (1)Lisede felsefe dersleri zorunlu olarak 10, ve 11. sınıfta tüm alanlarda ve tüm liselerde var. 10. sınıftan itibaren felsefe grubu dersleri adı altında lise son sınıfa kadar da 6-7 tane de seçmeli ders var. Ama şu doğru: Felsefe dersleri 9. sınıfta başlamalı ve zorunlu olmalı. Bendeniz felsefe öğretmeniyim.
Yanıtla (1) (0)Var zaten, sen hangi ülkede yaşıyorsun. Ben üç senedir lise son sınıf TS alanı öğrencilerine seçmeli felsefe dersleri okutuyorum. Bilmeden konuşmayın.
Yanıtla (1) (0)İsmet bey; daha önce sordum tekrar soruyorum , öyle top çevirmeyle olmaz , ele dişe dokanır bir şey yazın , enerji nedir , iş yapma kabiliyeti demeyin, tekil olarak enerji nedir? Bu gün insaların en büyük sorunu enerji , yanı evde yaktığımız tüp, arabaya koyduğunun yakıt, evde yaktığımız lamba , bunu nasıl çözeriz , beleşe nasıl getiririz , varsa bildiğin yaz , yoksa postular , teorem, kanun , asal sayı , yazıp durmanın bir faydası yok, varsa bir bildiğin yaz , dolanıp durma derim.
Yanıtla (2) (0)GEZİ'den sonra küçük bir hesap hatası, rotamız da hafif bir şaşmaya sebep oldu. Tamam ama hafif hasarlı da olsa yolu tutturduk demenin en edebi yolu bu olsa gerek. Bütün bunlara rağmen bizde seni okumaya devam ediyoruz alsana paradoks.
Yanıtla (4) (6)Gezi hatadan çok bilinçli bir kışkırtma gibi idi ve bu kaza da değil bilinçli bir tercihti. Kariyerin sonu oldu! Ne güvenilir ne de ciddiye alınır. Böyle idare edebilerse iyi.
Yanıtla (2) (1)Desene GEZİ herkese pozisyonu ve popüleritesine göre hak ettiğini vermeye devam ediyor. Mario Puzo'nun Sicilyalı romanı gibi heyecanlı bir maceranın içindeyiz adeta.
Yanıtla (3) (0)Ciddiye alan alıyordur. Obsesif fanatiklerin gizli özne ile kurdukları ahlaki zaafiyet ürünü cümlelerini kim ciddiye alır onu bilemem.
Yanıtla (1) (0)Tebrik ederim. En yükseğe muhtemelen sen sıçradın Thales. Yoklama tamam KARAR akademi mesaisini tamamladık akşam yemeğine geçebiliriz.
Yanıtla (2) (0)11 asal sayisi, iki asal sayinin toplami degildir. 1+10, 2+9, 3+8, 7+4, 5+6 (soldaki rakamlar asal sayı, sağdaki rakam ise degil.) Sanırım doğrusu "2 asal sayı" şeklinde degil, "asal sayıların toplamı" seklinde olacak. 11=(1+2+3)+5
Yanıtla (2) (3)Goldbach hipotezi 2’den büyük ÇİFT SAYILAR’ın 2 asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini söylüyor. Örn: 10=7+3; 12=7+5; 20=13+7; 28=17+11 gibi.
Yanıtla (4) (0)İsmet Berkan’ın siyasi yazıları bırakıp haftada 3 kez popüler bilim yazıları yazmasını isterdim. Herkes siyaset yazıyor zaten.
Yanıtla (7) (0)Bu cümle yanlıştır’ cümlesini matematik diliyle söylemek...!...giderin kazandigindan fazla ise AYVAYI yedin..fizik/metafizik hayat bunun uzerine kuruludur..
Yanıtla (3) (1)Devam edin lütfen!Matematikte bizim asla anlayamayacağımız,kavrayamayacağımız,bizi sonsuzluğa ve ötelere götüren bir gizemlilik vardır.Belki de dinlerin gayb dediği aleme götürecek bizi.Büyük gizemlilikler var matemetikte.
Yanıtla (1) (4)Zihin jimnastigi yapmamiza yardimci oldugunuz icin tesekkürler.
Yanıtla (4) (0)Insan dışındaki Canlılar matematik mantik dil vs de anca çok sınırli bir imkana sahip iken Hz.Adem in çocukları nasıl ulup da bu konuları alabildiğine genişletme imkani buldular. Tabii ki Allah'ın lutfetmesi ile ama nasıl ne şekilde. İşte yeni bir Metafizik inşası buna benzer sorular ile başlayacak. Merkezine Hz.Adem i koyarak..
Yanıtla (1) (0)Araştırması yapılan Metafizik zemin insan a aitti. Dolayısı ile bu zemin in temellerini insan da aramak gerekordi. Insana ait bu zemin bütün Canlıliğın ta ortak zemini idi aynı zamanda. Dolayısı ile biz matematik dil mantik...zeminini sorgulamayı ilk canlıdan başlatabilirdik. Peki Canlı neydi. Biliyormuyduk. Peki bir ağacın kullandıgi matematik ile insan ın kullandığı matematik bitbirinden nerede ayrişıyordu.
Yanıtla (1) (0)Varlik,Mantık,matematik,dil vs nin temellerini araştırma işine Metafizik deniyor. Eski filozoflar ın başlıca işi bu zeminin araştırılması idi. Ancak sağlam bir Metafizik kuramadılar. En büyük eksikleri Can ı ,Canlı yi temellendirememeleri oldu. Can ı temellendiremeyen 'insan"ın ne olduğunu da anlayamadı doğal olarak. Oysa mantik matematik vs doğrudan Can ile ilgili idi dunyadaki canliliğa ozgu idi.
Yanıtla (0) (2)Yaşamın kendisi zaten bir paradokslar zinciri.. Hadi cevap verilsin : Tavuk mu yumurtadan çıktı? Yumurta mı tavuktan çıktı!?
Yanıtla (7) (1)Günümüz klasik konularından uzak, farklı şeyler düşündüren yazı. Teşekkürler.
Yanıtla (5) (0)Bizimkilerin böyle şeylere kafaları basmaz. Çok ufak, basit, ilkel ve bayağı meseleler olmalı ki uğraşsınlar. Yeteri kadar siyasi ve tarihi curuf hafızaları doldurup kirletmiş, bilgi; hikmet ve basirete yer kalmamış. Az da olsa elbette bilme aşık kimseler vardır, onları tenzih ederim. Önüne ledün ilmi dahi koysan bu saman ve yonca değil diye yüz çeviren nice büyük unvanlı bilim insani musvetteleri vardır bu ülkede.
Yanıtla (4) (0)Kırk yıl önceki lise felsefe kitabı "nadir olan kıymetlidir, kör at nadirdir, o halde kör at kiymetlidir."Buna safsata dediler. Demekki yaşamın her alanında bu kural geçerli.
Yanıtla (3) (0)Evet son cümle doğru. Hemen oraya sıçradık bile. Ya da sıçramıştık zaten. Selamlar
Yanıtla (1) (0)Ellerinize sağlık İsmet Bey. Her Cumartesiyi iple çekiyoruz. Matematik muhteşem bir "sanat". Matematik; adil, net, liyakatli, herkese açık, sosyal ve dinamik bir bilim. Ne ırk, ne ayrıcalık, ne inanç üstünlüğü ne de devlet fark ediyor. Herkese eşit davranıyor. Keşfedenlerden, uğraşanlardan, geliştirenlerden, çalışanlardan Allah razı olsun...
Yanıtla (9) (0)Nereye sıçramayalım? Matematik merakınız önce felsefe merakıyla mı başladı? Formel matematik eğitiminiz var mı? Genelde siyasi konularda yazan bir gazeteci için matematik merakınız oldukça sıradışı.
Yanıtla (10) (7)